a)  Xét   \(\Delta HAC\)và   \(\Delta HBA\)  có:

\(\widehat{AHC}=\widehat{BHA}=90^0\)

\(\widehat{HAC}=\widehat{HBA}\)  cùng phụ với  \(\widehat{HAB}\)

suy ra:    \(\Delta HAC~\Delta HBA\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AH}{HB}=\frac{HC}{AH}\)

\(\Rightarrow\)\(AH^2=HB.HC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC

b: \(AH=\sqrt{9\cdot16}=12\left(cm\right)\)

\(AB=\sqrt{9\cdot25}=15\left(cm\right)\)

=>AC=20(cm)

Áp dụng hệ thức lượng giác vào tam giác vuông  ABC có:

(AH vuông góc với BC): \(\Rightarrow AH^2=BH\cdot CH=9\cdot16=144\Rightarrow AH=12cm\)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=9+16=25cm\)

Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác  vuông có:

Tam giác vuông \(AHB\) có: \(AB^2=AH^2+BH^2=12^2+9^2=225\Rightarrow AB=15cm\)

Tam giác vuông AHC có: \(AC^2=AH^2+CH^2=16^2+12^2=400\Rightarrow AC=20cm\)

đầu bài thiếu

a, HA^2=HB.HC

Xet tg AHB va tg AHC

Có: H chung

Va góc HCA= góc ABH ( phụ với Â)

=>Tam giác AHB đồng dạng tam giác AHC

=> AH/BH=HC/AH

=>đpcm

b, Ta có: AH/BH=HC/AH

=>AH^2=BH.HC

=>AH^2=144

=>AH=12

*Tính AC

Áp dụng định lý Pi-ta-go:

AC^2=AH^2+HC^2

AC^2=144+256

AC=20cm

*Tính AB

Áp dụng định lý Pi-ta-go:

AB^2=BH^2+AH^2

AB^2=81+144

AB^2=225

AB=15cm

Ta có: HC - HB = 9 \(\Rightarrow\)HC = HB + 9

Theo hệ thức lượng 2 trong tam giác vuông; ta có:

\(AH^2=BH\times CH=BH\times\left(BH+9\right)\)

\(\Leftrightarrow6^2=BH^2+9BH\)

\(\Leftrightarrow BH^2+9BH-36=0\)

\(\Leftrightarrow BH^2-3BH+12BH-36=0\)

\(\Leftrightarrow\left(BH-3\right)\left(BH+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}BH=3\left(tm\right)\\BH=-12\end{cases}}\)

\(\Rightarrow CH=9+BH=9+3=12\)

Vậy BH = 3cm; CH = 12 cm

a ) Ta có : \(AH^2=BH.HC\)

\(\Rightarrow HC=\frac{AH^2}{BH}=\frac{24^2}{16}=36\left(cm\right)\)

Ta có : \(BC=BH+HC=16+36=52\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB^2=BC.BH\)

\(AB^2=52.16\)

\(AB=\sqrt{52.16}\)

\(AB=\sqrt{52}.4\)

\(AB=28,8\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AC^2=BC.HC\)

\(AC^2=52.36\)

\(AC=\sqrt{52.36}\)

\(AC=\sqrt{52}.6\)

\(AC=43,3\left(cm\right)\)

b ) Ta có : \(sin\) \(B=\frac{AC}{BC}=\frac{43,3}{52}=0,83\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=56^0\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{A}-\widehat{B}=90^0-56^0=34^0\).

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Áp dụng hệ thức : AH^2 = HB . HC = 16 . 9 

=> AH = 4 . 3 = 12 cm 

Áp dụng hệ thức liên quan tới đường cao vào Δvuông ABC, ta được:

AH²= BH.CH = 9.16 = 144

⇒ AH=12 (cm)